확률의 개념과 응용

목차

제1장 확률의 기본 개념

제2장 확률의 정의와 성질

• 공리= 증명할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는 데 전제가 되는 원리로서 가장 기본적인 가정을 가리킨다.

• 러시아 수학자 콜모고로프 정의

제3장 조건부 확률

제4장 확률분포와 기댓값

1. 이산형 확률변수

2. 연속형 확률변수

3. 확률질량함수

4. 확률밀도함수
미분과 적분

5. 확률변수의 기댓값

6. 확률변수의 분산과 표준편차

제5장 이산형 확률분포

1. 이산형 확률분포

2. 이산형 균등분포

3. 초기하분포
1. 전체 100개의 제품 중 10개를 공정하게 추출하여 불량품의 개수를 확인하고 이를 통해 전체 불량품의 수를 파악한다
2. 초기하분포는 비복원추출에서 N개의 모집단 중 n개를 추출할 때, k번의 성공을 할 확률에 대한 분포이다. 초기하분포의 확률변수는 위와 같은 조건 하에서 성공할 횟수이다.
3. 이항분포와 성공횟수가 확률변수라는 점에서 비슷하지만, 이항분포는 복원추출을 통해 매 시행이 독립적이며 같은 성공확률을 가지지만 초기하분포는 비복원추출이기 때문에 앞선 시행이 다음 시행의 확률에 영향을 준다는 점에서 다르다.

4. 베르누이 분포
• 결과가 두 가지 중 하나로만 나오는 실험이나 시행을 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라고 한다.
• 예를 들어 동전을 한 번 던져 앞면(H:Head)이 나오거나 뒷면(T:Tail)이 나오게 하는 것도 베르누이 시행이다.

5. 이항분포
1. 두 개의 항으로 이루어진 분포, 두 개의 항 a, b에 대해 a가 일어날 확률 p와 b가 일어날 확률 q
2. 사건 A가 일어나거나 그렇지 않는 경우, 그 중간자 없이 딱 2가지 경우를 가질 때
3. https://angeloyeo.github.io/2021/04/23/binomial_distribution.html
4. 가령, 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 나올 횟수에 대해 알아보고 있다고 생각해보자.
동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 0.5 이다. 그러니, 10번 중 5번이 나올 확률이 제일 높을 것이다.
그런데, 10번 던졌을 때 4번 나올 수도 있지 않을까? 아마 5번 나올 확률 보다는 확률이 조금 낮겠지만 말이다.
혹시 운이 좋지 않아서 앞면이 3번만 나올 수도 있고, 앞면이 나오지 않을 수도 있지만 그럴 경우는 거의 없을 것이다.
즉, 이항분포는 p라는 확률(여기서는 0.5)을 가지는 사건을 연속 n회(여기서는 10회) 시행했을 때, 0~n회 사이의 시행 중 우리가 원하는 사건이 몇 번 발생할 지를 확률적으로 기술해놓은 분포라고 할 수 있다.
e. https://datascienceschool.net/02 mathematics/08.02 베르누이분포와 이항분포.html
베르누이분포와 이항분포는 모두 베르누이 확률변수에서 나온 표본값이다. 표본 데이터가 하나 뿐이면 베르누이분포가 되고 표본 데이터가 여럿이면 이항분포가 된다.

1. 포아송 분포
1. 정의= https://angeloyeo.github.io/2021/04/26/Poisson_distribution.html

제6장 연속형 확률분포

1. 연속형 균등분포

2. 지수분포
1. https://hsm-edu.tistory.com/1084
2. 제품 수명에 대한 확률분포로 많이 사용됨
3. 지수분포는 지정된 시점으로부터 어떤 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간을 측정하는 확률 분포
4. 푸아송 분포에서 첫번째 사건이 발생할 때까지 대기시간의 분포
5. 무기억성 성질을 가지고 있다.
6. 교통사고가 평균 10시간 간격으로 발생한다고 할 때, 다음 교통사고가 발생할 때까지의 시간(X): 𝞴=1/10인 지수분포
7. 자연상수: https://m.blog.naver.com/galaxyenergy/222511035255

3. 정규분포

제7장 다변량 확률분포

1. 결합분포와 주변분포

2. 공분산과 상관계수
1. 공분산
2. https://hsm-edu.tistory.com/1266

3. 조건부분포

4. 이변량 정규분포

5. 다변량 정규분포

6. 다항분포
1. https://hsm-edu.tistory.com/892

제8장 표본분포

1. 모집단과 표본

2. 표본평균의 분포
1. https://hsm-edu.tistory.com/16

3. 표본비율의 분포

4. 표본분산의 분포

5. 중심극한정리

제9장 확률과정

제10장 몬테카를로 시뮬레이션

참고 사이트