1. 확률과 셈 원리
수리통계학, 시뮬레이션에 근간이 되는 내용
모르면 모른다고 사실대로
전략 연습 문제를 보면, 풀이에 대한 설명과 정당화, 생각하는 방식 등을 예제로 볼 수 있다.
✅ 확률론의 활용영역
- 유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치
- 인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음
- 도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼)
- 인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다.
Mostella & Wallace의 Federalist Papers
- 미국 헌법 비준과 관련
- 확률, 베이즈 규칙 사용
Gambling
54장
스페이드 하트 다이아몬드 클럽 4종
에이스 2~10 잭 퀸 킹 13종
13*4 + 조커 2장 = 54장
확률에서 카드를 얘기할 때는 52장으로 보는 듯
Fermat & Pascal 서신
- 도박의 확률에 대해 언급
- 편지를 주고받음으로써 확률로 작업하는 방법을 개발
Issac Newton
- 주사위 도박에 대해 틀렸었음
- 직관에 어긋나 있음
확률은 직관에 어긋나있는 게 많다. 문제를 많이 풀어야 직관적으로 생각할 수 있다.
✅ 확률의 정의
수학 = 확실성의 논리
확률 = 불확실성의 논리 ( 불확실성을 수치로 나타내는 것)
- 실험(experiment): 가능한 특정한 결과가 존재
- 표본 공간(Sample space): 실험의 모든 가능한 결과의 집합
- A Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment
- 사건(event): 표본공간의 부분 집합
- An event is a subset of the sample space.
⭐사건을 부분 집합(subset)으로 생각하기
실험: 2개의 주사위를 굴린다고 가정
표본 공간 = 36개의 결과 = 집합
A = 하나의 사건 = 어떤 부분 집합
확통을 배우는 내내 생각할 질문
어떤 특정한 사건이 발생할 승산(odds)이 무엇일까?
순환논리(circularity)
- 동전이 공정하다는 것은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같다는 것
- 동등한 가능성으로 취급하고 어떤 사건의 확률을 알고 싶다면, 다음과 같이 구할 수 있다.
✅ Naive define of Probability
P(A) = 사건 A에 대한 확률
내포하고 있는 가정 - 가정을 분명히 하기
동등한 가능성 → 모든 결과가 같은 확률로 나온다. → 대칭성(symmetry)
유한한 많은 결과가 있다. → 유한 표본 공간(finite sample space) → 유한한 분모
- 모든 사건이 발생할 확률은 같다
- 유한한 표본공간
- 항상 이 가정이 만족되는 것은 아니기 때문에 적용 불가한 경우들이 있다!
✅ 셈 원리(Counting Principle)
곱의 법칙(multiplication rule)
- 발생 가능한 경우의 수가 n1, n2, …, nr가지인 1, 2, … r번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 n1 x n2 x … x nr
- 실험은 순차적으로 진행하게 됨
- 결합된 실험(Combined experiments) = 전체적인 가능한 실험의 결과
- 귀납법을 사용해서 증명 가능
- 트리 다이어그램을 통해 가시화 가능
아이스크림 예제
초콜릿 바닐라 스트로베리, 2개의 서로 다른 콘 타입
- 첫 번째 실험: 2개의 콘 타입 중 하나 선택
- 두 번째 실험: 원하는 맛을 선택
콘 타입을 선택하면 맛 하나를 선택할 수 있음
맛을 선택하고 콘을 선택할 수도 있음
6 = 2 * 3
6 = 3 * 2
포커 풀 하우스 예제
52장의 카드 중 5장의 카드를 뽑을 때,
카드가 완전히 섞였다고 가정, 다섯 장의 카드 집합은 동일한 가능성을 가진다는 가정
✅ 이항계수(Binomial Coefficient)
, n명의 사람 중 k명을 선택하는 방법의 수
- 크기 n의 집합에서 만들 수 있는 크기 k인 부분집합의 수(순서 관계 없이)
- k가 n보다 크면 0이라고 정의 → 불가능한 사건
- k의 크기를 가지는 부분집합 선택, 순서 상관 X
샘플링
복원, 비복원
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참고자료
- 사회·과학·정부 자료
- 금융 관련 추천 강의
- STAT-110(현재) ➡️ STAT-123
- 포커 확률
- 참고한 강의 노트
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