Aug 22, 2023

1. Probability and Counting

확률의 기초 용어(표본공간과 사건, 셈 원리)
1. Probability and Counting
Contents
1. 확률과 셈 원리

1. 확률과 셈 원리

수리통계학, 시뮬레이션에 근간이 되는 내용
모르면 모른다고 사실대로
전략 연습 문제를 보면, 풀이에 대한 설명과 정당화, 생각하는 방식 등을 예제로 볼 수 있다.
 

확률론의 활용영역

  • 유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치
  • 인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음
  • 도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼)
  • 인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다.
 
Mostella & Wallace의 Federalist Papers
  • 미국 헌법 비준과 관련
  • 확률, 베이즈 규칙 사용
 
Gambling
54장
스페이드 하트 다이아몬드 클럽 4종
에이스 2~10 잭 퀸 킹 13종
13*4 + 조커 2장 = 54장
확률에서 카드를 얘기할 때는 52장으로 보는 듯
 
Fermat & Pascal 서신
  • 도박의 확률에 대해 언급
  • 편지를 주고받음으로써 확률로 작업하는 방법을 개발
 
Issac Newton
  • 주사위 도박에 대해 틀렸었음
  • 직관에 어긋나 있음
확률은 직관에 어긋나있는 게 많다. 문제를 많이 풀어야 직관적으로 생각할 수 있다.
 

✅ 확률의 정의

수학 = 확실성의 논리
확률 = 불확실성의 논리 ( 불확실성을 수치로 나타내는 것)
  • 실험(experiment): 가능한 특정한 결과가 존재
  • 표본 공간(Sample space): 실험의 모든 가능한 결과의 집합
    • A Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment
  • 사건(event): 표본공간의 부분 집합
    • An event is a subset of the sample space.
 
 

⭐사건을 부분 집합(subset)으로 생각하기

실험: 2개의 주사위를 굴린다고 가정
표본 공간 = 36개의 결과 = 집합
A = 하나의 사건 = 어떤 부분 집합
 
확통을 배우는 내내 생각할 질문
어떤 특정한 사건이 발생할 승산(odds)이 무엇일까?
 
순환논리(circularity)
  • 동전이 공정하다는 것은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같다는 것
  • 동등한 가능성으로 취급하고 어떤 사건의 확률을 알고 싶다면, 다음과 같이 구할 수 있다.
 

✅ Naive define of Probability

P(A) = 사건 A에 대한 확률
 
 

내포하고 있는 가정 - 가정을 분명히 하기

동등한 가능성 → 모든 결과가 같은 확률로 나온다. → 대칭성(symmetry)
유한한 많은 결과가 있다. → 유한 표본 공간(finite sample space) → 유한한 분모
  • 모든 사건이 발생할 확률은 같다
  • 유한한 표본공간
  • 항상 이 가정이 만족되는 것은 아니기 때문에 적용 불가한 경우들이 있다!
 

✅ 셈 원리(Counting Principle)

곱의 법칙(multiplication rule)

  • 발생 가능한 경우의 수가 n1, n2, …, nr가지인 1, 2, … r번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 n1 x n2 x … x nr
  • 실험은 순차적으로 진행하게 됨
  • 결합된 실험(Combined experiments) = 전체적인 가능한 실험의 결과
    • 귀납법을 사용해서 증명 가능
    • 트리 다이어그램을 통해 가시화 가능
 
아이스크림 예제
초콜릿 바닐라 스트로베리, 2개의 서로 다른 콘 타입
  • 첫 번째 실험: 2개의 콘 타입 중 하나 선택
  • 두 번째 실험: 원하는 맛을 선택
콘 타입을 선택하면 맛 하나를 선택할 수 있음
맛을 선택하고 콘을 선택할 수도 있음
6 = 2 * 3
6 = 3 * 2
 
포커 풀 하우스 예제
52장의 카드 중 5장의 카드를 뽑을 때,
카드가 완전히 섞였다고 가정, 다섯 장의 카드 집합은 동일한 가능성을 가진다는 가정
 

이항계수(Binomial Coefficient)

, n명의 사람 중 k명을 선택하는 방법의 수
  • 크기 n의 집합에서 만들 수 있는 크기 k인 부분집합의 수(순서 관계 없이)
  • k가 n보다 크면 0이라고 정의 → 불가능한 사건
  • k의 크기를 가지는 부분집합 선택, 순서 상관 X
 

샘플링

복원, 비복원
notion image
 

 

참고자료

  • 사회·과학·정부 자료
  • 금융 관련 추천 강의
    • STAT-110(현재) ➡️ STAT-123
  • 포커 확률
  • 참고한 강의 노트
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